Hallo Dan,
ich hatte schon oft und viel Gesangsunterricht, der mir sehr sehr viel gebracht hat. Es gibt soooo viele Methoden des Gesangsunterrichts, dass man den Ablauf kaum erklären kann. Es kommt ja schonmal darauf an, in welche Richtung Du gehen möchtest - klar, die Atemtechnik etc. ist allen Stilen gemein, dennoch ist schon wichtig, wo der Lehrer "herkommt". Ich für meinen Teil hatte ausschließlich klassischen Gesangsunterricht - aber das ist nicht jedermanns Sache.
"Den Tonumfang erweitern" ist so eine Sache: Deine Stimme ist deine Stimme - die kannst Du nicht ändern. Aber Du kannst lernen, sie besser einzusetzen und den Tonumfang, den du hast, lockerer zu erreichen. Und Du kannst Deine Stimme besser kennenlernen und herausfinden, was alles geht und was eben nicht geht.
Ich denke, grundsätzlich wird sich das schon so anfühlen, wie "den Tonumfang nach oben hin zu erweitern", aber dennoch hat mancher in dieser Richtung hin und wieder zu große Erwartungen ("ich will singen wie Steve Perry").
Und die Stimme "stabiler machen"... nunja, Übung macht den Meister - das ist letzztlich nicht anders, als beim Gitarre spielen ;-)
Was noch sehr wichtig ist (wichtiger noch, als bei jedem anderen Instrument): Du musst mit dem Lehrer ein "guten Gefühl" haben. Das ist etwas, was Du bereits nach wenigen Stunden einschätzen kannst, denke ich. Wenn Du das Gefühl hast, das ist alles Humbug, warte nicht Monate, sondern such gleich weiter. In welcher Gegend wohnst Du denn?
So, ich hoffe, das war nicht zu schwammig,
viele Grüße vom highseppl!